Memorování Schröderovy metody jako efektivní strategie pro odhadování kořenů neznámé multiplicity

Abstraktní:

V tomto článku navrhujeme, podle našich nejlepších znalostí, první iterační schéma s pamětí pro hledání kořenů, jejichž násobnost je neznámá, existující v literatuře. Zlepšuje efektivitu podobného postupu bez paměti díky Schröderovi a lze jej považovat za zárodek pro generování metod vyššího řádu s podobnými charakteristikami. Jakmile je studován jeho řád konvergence, je analyzována jeho stabilita, která ukazuje jeho dobré vlastnosti, a je numericky porovnávána z hlediska jejich pánví přitažlivosti s podobnými schématy bez paměti pro nalezení více kořenů.

Paměť je důležitou součástí lidské inteligence a nezbytností pro lidské učení, myšlení, tvoření a život. Mnoho lidí ale zjistí, že jejich paměť je nedostatečná a často zapomínají důležité věci. Kvalita paměti úzce souvisí s iterací paměti.

Takzvaná iterace paměti označuje neustálé posilování a upevňování paměti v procesu opakovaného učení určitého znalostního bodu nebo dovednosti a nakonec přeměněné na dlouhodobou paměť. Tento proces nejen pomáhá konsolidovat vzpomínky, ale také zlepšuje jejich množství a kvalitu.

Jak tedy paměť dobře iterovat? V první řadě je nutné plně porozumět obsahu výuky. Pouze hlubokým porozuměním lze znalosti skutečně vtisknout do mysli a vyhnout se zapomenutí. Za druhé, pokračujte v recenzování. Opakované opakování naučených znalostí pomáhá mozku prohloubit dojem rozpoznávání znalostí, uvažování a porozumění, a tím zlepšuje dlouhodobou paměť. Nakonec použijte různé metody, které vám pomohou iterovat paměť. Můžete například prohloubit svou paměť vytvářením myšlenkových map, převyprávěním atd.

Stručně řečeno, iterativní paměť je složitý a důležitý proces, který vyžaduje neustálé úsilí a vytrvalost. Pouze tím, že budeme s iterativní pamětí zacházet jako se způsobem života a začleníme ji do všech aspektů každodenního studia, práce a života, můžeme neustále zlepšovat svou paměť, umožnit nám lépe se vypořádat se složitými výzvami v oblasti učení a práce a ukázat nový osobní styl. Masová pasta je tradiční čínský léčivý materiál, který má mnoho jedinečných účinků, jedním z nich je zlepšení paměti. Účinnost mletého masa vychází z různých účinných látek, které obsahuje, včetně karboxylové kyseliny, polysacharidů, flavonoidů atd. Tyto složky mohou různými kanály podporovat zdraví mozku.

Klikněte na 10 způsobů, jak zlepšit paměť

Klíčová slova:

Nelineární rovnice; iterační metody s pamětí; více kořenů; bez derivátů; účinnost; stabilita.

1. Úvod

V literatuře (viz např. Reference [1–8]) existují četné iterační metody bez paměti, zahrnující nebo nederivované, navržené k odhadu více kořenů nelineární rovnice f(x)=0, ale většina z nich potřebuje znalost mnohosti m těchto kořenů.

Je dobře známo, že Schröderova metoda [9]:

s tím, že jde o skutečný parametr, vyžaduje 4 vyhodnocení funkcí na krok a již není bez derivace. Tato Traub-Steffensenova metoda na g je příliš drahá a dále se o ní neuvažuje.

Hlavní výhodou Schröderova schématu je nezávislost na znalosti násobnosti nelineární funkce, na rozdíl od modifikované Newtonovy metody pro více kořenů,

kde m je násobek , který musí být v tomto případě znám. Toto schéma bylo také díky Schröderovi (viz také odkaz [9]) a označujeme ho SM2. Toto schéma je konvergentní druhého řádu, a proto optimální ve smyslu Kung-Traubovy domněnky (protože používá dvě nová funkční hodnocení na iteraci; viz Odkaz [10]). Potřebuje však znalost násobnosti, zatímco SM1 ji nevyužívá; nicméně hlavní nevýhodou schématu SM1 je jeho nízká účinnost, protože potřebuje vyhodnotit tři nelineární funkce (f(x), f 0 (x) a f 00(x)) na iteraci.

Náš cíl v tomto rukopise je dvojí: na jedné straně bychom chtěli zvýšit efektivitu schématu SM1, který si zachovává jeho schopnost najít více kořenů násobnosti m bez znalosti m a na druhé straně kombinovat ve stejném algoritmu. schopnost najít více kořenů s použitím více než jedné předchozí iterace. Navrhujeme tedy iterační schéma s pamětí pro odhadování více kořenů neznámé multiplicity. Pokud víme, v literatuře neexistuje žádný iterační postup splňující tyto vlastnosti.

Při analýze konvergence navrženého schématu je třeba vzít v úvahu některé aspekty, protože jde o iterativní metodu s pamětí, takže je třeba vzít v úvahu chybu v několika předchozích iteracích a klíčovým prvkem by měla být také násobnost kořene m demonstrace, i když jeho konkrétní hodnota není známa. S ohledem na tuto skutečnost je třeba poznamenat, že f (q) ( ) {{0}} pro q=1, 2, . . . , m − 1 a f (m) ( ) 6= 0. Takže Taylorovy expanze kolem f a f 0 objevující se v iterativním výrazu by měly brát tuto informaci v úvahu.

Na druhou stranu, protože námi navržené schéma je iterační procedura, která pro výpočet následující používá tři předchozí iterace, je nutné chybovou rovnici vyjádřit pomocí jejich odpovídajících chyb a z toho odvodit její řád konvergence. To je provedeno pomocí klasického výsledku Ortegy a Rheinboldta [11], který je uveden níže.

Věta 1. Nechť ψ je iterační metoda s pamětí, která generuje posloupnost {xk} aproximací ke kořeni , a nechť tato posloupnost konverguje k . Pokud existuje nenulová konstanta η a kladná čísla ti, i=0, 1, . . . , m, taková, že nerovnost

V tomto rukopisu je oddíl 2 věnován návrhu a analýze konvergence navrhované bezderivační iterační metody s pamětí pro nalezení více kořenů (bez znalosti její mnohosti). V části 3 je analyzována její stabilita, aby se odvodila její závislost na počátečních odhadech pro jednoduché i vícenásobné kořeny. V části 4 je numerická výkonnost metody kontrolována na několika testovacích funkcích, které jsou analyzovány, stejně jako jejich odpovídající pánve přitažlivosti, ve srovnání se stávajícími Schröderovými metodami.

2. Návrh a analýza konvergence

Naším výchozím bodem je schéma bez derivace s pamětí podle Trauba [12],

Hlavní výhodou tohoto schématu je schopnost najít jednoduché i vícenásobné kořeny nelineární funkce bez znalosti násobnosti, s lepší účinností než SM1. Při použití Ostrowskiho indexu účinnosti [13] je ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 nižší než IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, kde každý index I se vypočítá jako p 1 d, s p což je pořadí konvergence metody a d množství nových funkčních hodnocení na iteraci.

V další části je provedena dynamická analýza tohoto schématu, aby se ukázala jeho kvalitativní výkonnost na jednoduchých a vícenásobných kořenech. Jelikož se jedná o iterační metodu s pamětí, je nutné použít vícerozměrnou reálnou dynamiku.

3. Kvalitativní studie navržených iteračních metod s pamětí pro více kořenů

Poznamenejme, že naše metoda používá tři předchozí iterace ke generování následující; lze jej tedy vyjádřit obecně a

kde x0, x−1 a x−2 jsou počáteční odhady. Pomocí postupu definovaného v Referenci [14] lze tuto metodu popsat jako diskrétní reálný vícerozměrný dynamický systém a analyzovat jeho kvalitativní chování.

Kvalitativní výkon dynamického systému má klíčový prvek při charakterizaci jejich pevných bodů z hlediska stability. Pro výpočet pevných bodů 1 SF Υ lze definovat pomocnou vektorovou funkci M: R3 −→ R3, vztaženou k 1 SF Υ pomocí:

Navíc, pokud existuje vlastní hodnota λi jakobiánské matice M{{0}} vyhodnocená v pevném bodě x ∗ splňující |λi|< 1 a další λj takové, že |λj|> 1, pak se x ∗ nazývá pevný bod sedla. Jako rozšíření pojmu v jednorozměrné dynamice, jestliže vlastní čísla M0 (x ∗ ) splňují |λj |=0 pro všechny hodnoty j=1, 2, . . . , m, tedy pevný bod x ∗ je nejen přitahující, ale i superpřitahující. Proto má metoda kvadratickou konvergenci, alespoň na třídě nelineárních funkcí, které odvozují racionální funkci (viz Odkaz [12]).

Uvažujeme-li x ∗ za přitahující pevný bod M, jeho povodí přitažlivosti A(x ∗ ) je definováno jako množina předobrazů libovolného řádu.

Kvalitativní výkon různých iteračních schémat navržených pro řešení nelineárních rovnic s více kořeny byl studován různými autory (viz např. Reference [17–19]). Byl vytvořen pomocí diskrétní komplexní dynamiky, protože všechna tato schémata jsou bez paměti. V těchto studiích bylo zjištěno, že když iterační metoda (bez paměti) určená pro hledání více kořenů působí na nelineární funkci s jednoduchými i vícenásobnými kořeny, je zcela obvyklé, že pánve přitažlivosti jednoduchých kořenů jsou užší než ty s více kořeny. Tyto jednoduché kořeny mohou skutečně definovat pevné body racionální funkce, které jsou odpudivé. Iterační metoda by proto měla být schopna najít pouze více kořenů.

Následující kvalitativní analýza je provedena na p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Větší nebo rovno 1, takže schopnost schématu najít jednoduché i testuje se více kořenů (s násobností m).

Velmi užitečným nástrojem pro vizualizaci analytických výsledků je dynamická rovina systému složená ze sady různých pánví přitažlivosti. Zde je dynamická rovina navrhované metody gTM postavena výpočtem orbity sítě 800 × 800 počátečních bodů (z, x) pro pevnou hodnotu w ve startovním roštu. Protože iterační schémata je třeba začít třemi počátečními odhady, vygenerujeme síť dynamických rovin, z nichž každá má pevnou hodnotu w v intervalu [−1,75, 1,75]. V těchto fázových portrétech je každý bod sítě namalován různými barvami (v tomto případě oranžovou a zelenou), v závislosti na atraktoru, ke kterému konvergují (označeno jako bílá hvězda), s tolerancí 10−3. Navíc se zobrazují černě, pokud oběžná dráha nedosáhla žádného atraktivního pevného bodu v maximálně 500 iteracích. Protože se pevná hodnota w mění ve vektoru hodnot náležejících k [−1.75, 1.75], poskytuje složení čísel pro každou multiplicitu, což vede k jakémusi obrysovému grafu.

Na obrázku 1 ukazujeme výkon schématu gTM na p(x), tedy racionálního operátoru TM pro jednoduché kořeny. Pozorováním chování pro různé grafy se třemi prvními iteracemi, které se každý liší v [−2, 2], je zaznamenána stabilní proveditelnost. Mísy přitažlivosti kořenů jsou jediné; jsou široké a jediný rozdílný výkon (lepší než ostatní z hlediska jednoduchosti hranice mezi pánvemi) je případ w=0, kde je racionální funkce zjednodušena. Ve všech případech bylo pozorováno, že jediným možným chováním metody gTM je konvergence ke kořenům.

Na druhé straně na obrázku 2 ukazujeme velmi podobný výkon, když jeden z kořenů je dvojitý a druhý je jednoduchý. Povodí přitažlivosti je stejně široké a toto chování je velmi podobné, když byly prozkoumány další multiplicity. Navíc je v tomto případě vidět, že dochází pouze ke konvergenci ke kořenům, jelikož tmavší oblasti mají pouze pomalejší konvergenci, kvůli vyšší složitosti hranice pánví přitažlivosti.

4. Numerický výkon a dynamické testy

V této části porovnáváme tři metody, a to SM2 (vyžadující znalost multiplicity), SM1 a gTM (odvozené z Traubovy metody). Poslední dvě metody nevyžadují znalost multiplicity, ale vyžadují zvláštní funkční hodnocení na iterační krok (tři v případě SM1, dvě v případě gTM).

Metody jsou porovnávány jak kvalitativně prostřednictvím povodí hodnot přitažlivosti, tak kvantitativně prostřednictvím několika měření. Tyto míry představují dobu běhu CPU pro spuštění metody na bodech ve čtverci 6 x 6 se středem v počátku. Čtverec jsme rozdělili rovnoměrně rozmístěnými vodorovnými a svislými čarami a všechny průsečíky jsme vzali jako výchozí body pro iterační proces.

Pro TM, metodu s pamětí, jsme museli vzít další dva počáteční body x−1=x0 + d a x−2=x0 + 2d, kde d je rozestupy řádků. Dalším kritériem shromážděným kódem je průměrný počet iterací na bod (AIPP), ale protože metody vyžadují různý počet funkčních hodnocení na krok, vzali jsme průměrný počet funkcí na bod (AFPP). Třetím kritériem je počet divergentních bodů (DP), což je počet bodů, u kterých metoda nekonvergovala ve 40 iteracích s tolerancí 10−7.

Na základě obrázku 3 je zřejmé, že SM1 a SM2 mají podobné pánve a gTM má více laloků na hranici mezi dvěma pánvemi. Z obrázku 4 si všimneme, že gTM je lepší než SM1. Na následujících 3 číslech je gTM nejlepší, se širšími pánvemi přitažlivosti a užšími černými oblastmi bez konvergence ke kořenům. Tento výkon platí i pro nepolynomiální funkci f5. Navíc na obrázku 8 si lze všimnout, že pánve přitažlivosti metody SM2 jsou širší než naše metoda gTM.

Nyní odkazujeme na údaje v tabulkách 1–3. Doba běhu CPU v sekundách je uvedena v tabulce 2. SM2 je konzistentně rychlejší než ostatní. Pokud násobnost není známa, pak je gTM rychlejší než SM1, s výjimkou prvního příkladu. V průměru je gTM rychlejší než SM1.

Průměrný počet vyhodnocení funkcí na bod (viz tabulka 2) je nejvyšší pro SM1 ze všech příkladů. Všimněte si, že poslední příklad je nejtěžší pro všechny metody. Počet divergentních bodů je nejnižší pro gTM pro příklady 1, 3 a 4. SM1 má nejvíce divergentních bodů pro prvních 6 příkladů, ale v posledním příkladu si gTM vedl špatně a stal se celkově třetím místem. Metoda SM2 byla v průměru nejlepší pro 3 kategorie následovaná gTM pro 2 kategorie.

5. Závěry

Bylo zkonstruováno nové iterační schéma s pamětí se schopností najít jednoduché i vícenásobné kořeny (bez nutnosti znát jejich násobnost). Je to, pokud víme, první metoda s těmito vlastnostmi v literatuře. Bylo prokázáno, že jeho pořadí konvergence je přibližně 1,84 se dvěma novými funkčními hodnoceními na iteraci; tím se získá schéma pro zlepšení účinnosti Schröderova schématu bez paměti SM1, které má podobné vlastnosti. Pomocí vícerozměrné reálné diskrétní dynamiky a nízkostupňových polynomů s jednoduchými a více kořeny byla analyzována stabilita navrhovaného schématu, ukazující široké oblasti konvergence k oběma druhům kořenů.

V poslední části nám Schröderovy a gTM metody běžící na několika příkladech umožnily dospět k závěru, že pokud je multiplicita známa předem, pak SM1 a gTM nemohou soutěžit, i když je gTM lepší než SM1. Pokud však není známa multiplicita, navrhovaná metoda gTM vykazuje velmi dobrý výkon a lepší účinnost než metody SM1, pokud jde o dobu provádění, výpočetní náklady a šířku povodí přitažlivosti.

Příspěvky autora:

Konceptualizace, AC a JRT; metodika, BN; software, AC a BN; validace, BN; formální analýza, JRT; vyšetřování, AC; psaní – příprava původního návrhu, AC a BN; psaní — recenze a editace, JRT; supervize, BN a JRT Všichni autoři si přečetli a souhlasí s publikovanou verzí rukopisu.

Financování:

Tento výzkum byl částečně podpořen PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Prohlášení o informovaném souhlasu:

Nelze použít.

Poděkování:

Autoři by rádi poděkovali anonymním recenzentům za jejich návrhy a připomínky, které zlepšily konečnou verzi tohoto rukopisu.

Střet zájmů:

Autoři neprohlašují žádný střet zájmů.

Reference

1. Petkovič, M.; Neta, B.; Petkovič, L.; Džuni´c, J. Vícebodové metody řešení nelineárních rovnic; Academic Press: Oxford, Spojené království, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Pokroky v iteračních metodách pro nelineární rovnice; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Švýcarsko, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Nové optimální schéma bez derivátů vyššího řádu pro více kořenů. J. Computing. Appl. Matematika. 2021, 113773, v tisku. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimální numerický algoritmus čtvrtého řádu bez derivace pro více kořenů. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Rodina optimální iterační funkce osmého řádu pro více kořenů a její dynamika. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Rodina iteračních metod pátého řádu pro nalezení více kořenů nelineárních rovnic. Numer. Anální. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Efektivní třída metody čtvrtého řádu bez derivace pro více kořenů. Int. J. Nelineární Sci. Numer. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Rodina optimální metody čtvrtého řádu pro více kořenů nelineárních rovnic. Matematika. Metody Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematika. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Optimální pořadí jednobodové a vícebodové iterace. J. Assoc. Počítat. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Iterativní řešení nelineárních rovnic v několika proměnných; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iterační metody řešení rovnic; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Řešení rovnic a soustav rovnic; Academic Press: New York, NY, USA; Londýn, Velká Británie, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Vícerozměrný dynamický přístup k iterativním metodám s pamětí. Appl. Matematika. Počítat. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Úvod do chaotických dynamických systémů; Pokroky v matematice a inženýrství; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com